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具体と抽象

「もも、バナナ、なし、かき、メロン、リンゴの6種類から4種類を買う方法は何通りあるか」
昨日中2でやった確率論・場合の数の問題だ。けっこうややこしい。
しかしこれと同じ問題を小6でも高1でもやる。これはどういうことだろう?
小6では間違わないように整理して全部書きだす。
(もも・バナナ・なし・かき) (もも・バナナ・なし・メロン) (もも・バナナ・かき・メロン)・・・・
順序良く出して行かないとすぐにわからなくなりますよ。
丁寧に書き出せば15通りであることがわかる。小6には具体的に作業をさせるだけでいい。
具体的に、丁寧に、順序良く・・・それもまた大切な算数・数学の姿だ。
しかし同じ問題を高1では「6×5÷2=15通り」とやってしまうようになる。
何これ?すごい抽象化で、何でそんな式になるのかわからないぞ?
そう、「順列と組み合わせ」という理論を使って抽象化してしまうのだ。
具体から抽象へ・・・数学とはそのように発展していく教科だ。
小学生に抽象はよくわからないから具体的に作業させ、高1では抽象を理解させる。
その間にある中2ではその二つのことにかけ橋を取り付ける作業をする。
「4つずつ出して行くと・・・面倒だなあ・・・」小6で同じことをしたことなどすっかり忘れている。
しかしうまくすると、小6では考えなかったことに気づく。
「・・・ちょっと待てよ。6つから4つ取るということは、取らない2つを出した方が楽だぞ」
そう、上に書いたものは(メロン・リンゴ) (かき・リンゴ) (なし・リンゴ)とやっても同じだ。
そういうことに気付かせると、6個から2つ取り出して並べる方法は6×5という順列と、
それを二つの並び替えの数2で割るという組み合わせも、少しわかってくれる。
高1だとすぐに何千という数になったり、文字になったりするが、中2にはやらせるべきでない。
あくまでかけ橋なのだから、書きだせる範囲の数でやらせる。確認させることが大切だ。
問題集には200や300通りという問題もあるが、それをやらせても生徒は機械的な作業をするだけで、
けっして理解を進めることはない。
そんな事をやらせて喜ぶ教師や親は、自己満足するだけで、この成長は理解していない。
本格的に抽象を進める高校でわけがわからなくなるだけだ。
慎重に問題を選んで進めると、チサもヨシヤもアリサも・・・どの子も顔が笑うようになった。
わかる・・・という笑顔だ。久しぶりに昨日は、いい授業が出来た。

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